সম্ভাবনা (Probability) — সম্পূর্ণ নোট

📑 সূচিপত্র

পুরো চ্যাপ্টারে মুখস্ত করার কিছু নাই — বুঝলেই সব পারবা। মূল ভিত্তি একটাই সূত্র:

• সম্ভাবনার মান সবসময় 0 ≤ P ≤ 1 এর মধ্যে। (1 এর বেশি বা 0 এর কম কখনো হয় না — MCQ.)
• CQ টিপস: নাম্বার সরাসরি বসাবা না। আগে কথায় লিখবা — "P = অনুকূল ঘটনা ÷ মোট সম্ভাব্য ঘটনা" — তারপর সংখ্যা।

পূরক · সম্পূরক · বর্জনশীল — পার্থক্য

• পূরক / পরিপূরক (Complementary): দুইটা ঘটনা, কোনো কমন নাই, ইউনিয়ন = পুরো S। যেমন জোড় {2,4,6} ও বেজোড় {1,3,5}।
  P(A) + P(A′) = 1  ⟹  P(A′) = 1 − P(A)
• সম্পূরক (Mutually exhaustive): পূরকের মতই কিন্তু দুইয়ের অধিক ভাগ। P(A)+P(B)+P(C)=1।
• পরস্পর বর্জনশীল / বিচ্ছিন্ন (Mutually exclusive): কোনো কমন উপাদান নাই → A∩B = ∅, তাই P(A∩B)=0। যেমন জোড় ও বেজোড়।
• অবর্জনশীল / অবিচ্ছিন্ন: কমন অংশ আছে → P(A∩B) ≠ 0। যেমন "৩ দ্বারা বিভাজ্য" {3,6} ও "জোড়" {2,4,6} → কমন {6}।
• স্বাধীন (Independent): একটার সাথে অন্যটার কোনো নির্ভরশীলতা নাই। যেমন কয়েন ২ বার ছোঁড়া।
• অধীন / নির্ভরশীল (Dependent): একটা ঘটলে অন্যটার সম্ভাবনা পাল্টে যায়। যেমন বল তুলে ফেরত না দিয়ে আবার তোলা।

প্রশ্ন দেখলেই প্রথমে ঠিক করো — "অথবা" নাকি "এবং"?

"A ঘটলে B ঘটার সম্ভাবনা" — লেখা হয় P(B|A)।

কয়টা নমুনা বিন্দু? MCQ favourite

নমুনা ক্ষেত্র তৈরির ৩ পদ্ধতি

1. কার্তেশীয় গুণজ — সাধারণত ব্যবহার হয় না।
2. সম্ভাবনা ট্রি (Tree) — কয়েন (২-৩টা) নিক্ষেপের জন্য সেরা।
3. আয়তাকার সারণী (ছক) — ছক্কা বা ছক্কা+কয়েন এর জন্য।

২টা কয়েন: S = {HH, HT, TH, TT} → 4টি। কমপক্ষে ১টা head = 3/4।

৩টা কয়েন: S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} → 8টি।

• তিনটাই tail = TTT → 1/8 (স্বাধীন: ½×½×½)
• কমপক্ষে ১টা tail = (HHH বাদে সব) → 7/8
• ২ বা তার বেশি tail = 4টি কেস → 4/8 = 1/2

দুইটা ছক্কা → 36টা নমুনা বিন্দু। দুই কর্ণে দারুণ প্যাটার্ন:

• ↘ মূল কর্ণ — পার্থক্য: এই কর্ণে দুই ছক্কা সমান (পার্থক্য 0): (1,1)…(6,6), ৬টা ঘর। পরের কর্ণে পার্থক্য 1, 2…
• ↙ উল্টা কর্ণ — যোগফল: এই কর্ণ বরাবর যোগফল 2, 3, …, 12।

ছক্কা + কয়েন: ১ ছক্কা + ২ মুদ্রা = 24টা নমুনা বিন্দু। দুইটা head ও জোড় সংখ্যা = ½×½×½ = 1/8।

                মোট ৫২টা কার্ড
        ┌──────────────┴──────────────┐
     ২৬ কালো (Black)              ২৬ লাল (Red)
     ┌────┴────┐                  ┌────┴────┐
 ইস্কাপন(♠) চিড়াতন(♣)          রুইতন(♦)   হরতন(♥)
   ১৩        ১৩                   ১৩        ১৩

• প্রতি সুটে (১৩টা): রাজা(K), রানী(Q), গোলাম(J), টেক্কা/এস(Ace) + 2 থেকে 10 = ১৩টা।
• রাজা মোট ৪টা, কালো রাজা ২টা, টেক্কা মোট ৪টা।

একটা হরতনের রাজা সরালে: মোট 51, হরতন 12 → P = 12/51।

৩টা কার্ড, তিনটাই রাজা (ফেরত ছাড়া, অধীন):

রেঞ্জে কয়টা সংখ্যা?

• m থেকে n পর্যন্ত: n − m + 1 টা।
• রেঞ্জ বেজোড় দিয়ে শুরু ও শেষ হলে বেজোড় ১টা বেশি। যেমন 1→25: জোড় 12, বেজোড় 13।
• 1 থেকে n পর্যন্ত k দ্বারা বিভাজ্য = ⌊n/k⌋ (ভাগফলের পূর্ণ অংশ)।
• পূর্ণবর্গ = ⌊√n⌋ টা; পূর্ণঘন = ⌊³√n⌋ টা।

উদাহরণ

• 1→350 এ ঘনসংখ্যা: ⌊³√350⌋ = 7 → P = 7/350।
• 1→20 এ ৩ অথবা ৫ এর গুণিতক (অবর্জনশীল): ৩-এর 6, ৫-এর 4, ১৫-এর (কমন) 1 → 6/20 + 4/20 − 1/20 = 9/20।
• মৌলিক অথবা ৫-এর গুণিতক → বর্জনশীল (৫ ছাড়া কোনো মৌলিক ৫-এর গুণিতক না) → শুধু যোগ।

মূল কথা: n (সংখ্যা) কে মোট n(S) দিয়ে ভাগ করলেই P। তাই সেট থিওরির সব সূত্র খাটে।

একটা করে যোগ, দুইটা করে বিয়োগ, তিনটা করে আবার যোগ।

উদাহরণ (২ সেট)

২০০ পরীক্ষার্থী; গণিতে fail 40, পরিসংখ্যানে fail 20, উভয়ে 10।

• শুধু গণিতে fail = 40 − 10 = 30 → P(গণিতে fail কিন্তু পরিসংখ্যানে pass) = 30/200
• অন্তত একটায় fail = 40 + 20 − 10 = 50 → দুইটাতেই pass = 200 − 50 = 150

উদাহরণ (৩ সেট)

১০০ জন; বাংলা 40, ইংরেজি 35, গণিত 20; B∩E=17, E∩M=7, M∩B=6, তিনটাই=5।

• অন্তত একটায় pass = 40+35+20 − 17−7−6 + 5 = 70
• তিন বিষয়েই fail = 100 − 70 = 30 → P = 30/100

A. একটা বল — সহজ

7 লাল, 9 কালো, 6 সাদা (মোট 22)। P(লাল বা সাদা) = (7+6)/22 = 13/22।

B. একাধিক বল — দুইভাবে

(১) ধাপে ধাপে (অধীন, ফেরত ছাড়া) — ক্রম নির্দিষ্ট ("প্রথমটা লাল, দ্বিতীয়টা কালো, তৃতীয়টা সাদা"; 3 সাদা, 5 লাল, 6 কালো; মোট 14):

(২) কম্বিনেশন — ক্রম বলা নাই ("একটা লাল, একটা কালো, একটা সাদা"):

C. ফেরতসহ vs ফেরত ছাড়া

• প্রতিস্থাপিত (with replacement) → স্বাধীন, প্রতিবার একই হর। 4 সাদা/7 → দুইটাই সাদা = 4/7 × 4/7।
• প্রতিস্থাপিত না (without) → অধীন, হর কমে। = 4/7 × 3/6।

D. কম্বিনেশন বেসিক

বাছাই (ক্রম গুরুত্বহীন) = ⁿC_r  |  সাজানো (ক্রম গুরুত্বপূর্ণ) = ⁿP_r = ⁿC_r × r!

E. "একই রঙের" / "ভিন্ন রঙের"

2টা বল (5 লাল, 10 সাদা; মোট 15):

• ভিন্ন রঙ = (⁵C₁ × ¹⁰C₁) ÷ ¹⁵C₂
• একই রঙ = (⁵C₂ + ¹⁰C₂) ÷ ¹⁵C₂  (= 1 − ভিন্ন রঙ)

৩টা বল তুললে লাল হতে পারে 0,1,2,3টা। সব কেসের সম্ভাবনা যোগ করলে = 1।

উদাহরণ — কমপক্ষে ২টা লাল (5 লাল, 10 অন্য; ৩টা তোলা):

প্রথমে একটা ব্যাগ বাছাই, তারপর বল তোলা। প্রতিটা পথ আলাদা গুণ করো, তারপর যোগ।

উদাহরণ: ৩টা ব্যাগ, প্রতিটা ⅓ সম্ভাবনায় বাছাই। "টাকা" পাওয়ার সম্ভাবনা:

স্বাধীন A, B, C — "অন্তত একটা ঘটবে":

বিক্রেতা উদাহরণ

প্রতিজনের কাছে বিক্রির সম্ভাবনা 0.7, ২ জন (স্বাধীন)।

• অন্তত একজনের কাছে = 1 − (0.3)(0.3) = 1 − 0.09 = 0.91
• যাচাই: 0.7 + 0.7 − 0.7×0.7 = 0.91 ✓

৩ শহরে দুর্ঘটনা

ঢাকা 0.45, রাজশাহী 0.35, চিটাগাং 0.20 (স্বাধীন):

• তিন শহরেই = 0.45 × 0.35 × 0.20 = 0.0315
• কোথাও না = 0.55 × 0.65 × 0.80 = 0.286
• অন্তত এক শহরে = 1 − 0.286 = 0.714

মুখস্থ লাগবে না — শর্তাধীন সম্ভাব্যতা + একাধিক ব্যাগেরই খেলা। প্রশ্ন উল্টো: বল তুলে দেখলে সাদা — এটা ২য় থলি থেকে আসার সম্ভাবনা?

উদাহরণ: B₁(3 সাদা, 7 কালো), B₂(2 সাদা, 6 কালো), B₃(4 সাদা, 3 কালো); প্রতিটা ⅓:

জ্যামিতি (ক্ষেত্রফল): বৃত্তের ভেতর চোখ বন্ধ করে ফোঁটা ফেললে ত্রিভুজের ভেতরে পড়ার সম্ভাবনা:

সংখ্যা গঠন (বিন্যাস-সমাবেশ): কিছু অঙ্ক দিয়ে সংখ্যা বানিয়ে সেটা জোড়/৫ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা:

• নিশ্চিত ঘটনা P=1, অসম্ভব P=0, যেকোনো P এর মান 0 থেকে 1।
• বর্জনশীল হলে P(A∩B)=0।
• স্বাধীন হলে P(A∩B)=P(A)P(B)।
• n কয়েন → 2ⁿ, n ছক্কা → 6ⁿ নমুনা বিন্দু।
• ৫২ তাস: লাল 26, রাজা 4, টেক্কা 4, হরতন 13; P(টেক্কা)=1/13।
• প্রাইম: 1–50 → 15টা, 1–100 → 25টা।
• P(A′) = 1 − P(A)।

1. প্রথমে লেখো এটা "অথবা" না "এবং" প্রশ্ন।
2. অথবা → বর্জনশীল/অবর্জনশীল চেক। এবং → স্বাধীন/অধীন চেক।
3. বল তোলায় → ক্রম থাকলে ধাপে গুণ, না থাকলে C (কম্বিনেশন)।
4. "কমপক্ষে একটা" → 1 − (একটাও না)।
5. উল্টো শর্ত ("সাদা পেলে কোন ব্যাগ") → বায়াসের সূত্র।
6. সূত্র কথায় লিখে তারপর সংখ্যা বসাও — ধাপে নম্বর পাবে।