HSC · উচ্চতর গণিত ২য় পত্র · অধ্যায়ভিত্তিক পূর্ণাঙ্গ নোট

কনিক — Conic Sections

পরীক্ষার আগের রাতের জন্য সম্পূর্ণ গাইড। বেসিক থেকে শুরু — সংজ্ঞা, সব সূত্র, প্রতিটি ধর্ম, সমাধানসহ উদাহরণ, MCQ ব্যাংক, CQ প্যাটার্ন আর কমন ভুল। একটাও ফর্মুলা মুখস্থ না করে চিত্র দিয়ে শেখার কৌশল।

◆ পরাবৃত্ত (Parabola) ◆ উপবৃত্ত (Ellipse) ◆ অধিবৃত্ত (Hyperbola) ◆ শনাক্তকরণ ◆ স্পর্শক ও পরামিতিক ◆ SP = e·PM

১ কনিক কী ও শ্রেণিবিন্যাস

একটি সমবৃত্তভূমি কোণক (cone) বা দুটি কোণ উল্টো জোড়া দেওয়া ডাবল কোণকে বিভিন্নভাবে সমতল দিয়ে কাটলে যে ছেদচিত্র (curve) পাওয়া যায়, তাকেই কনিক বলে।

দুই চলক বিশিষ্ট আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ যেকোনো কনিক এই সাধারণ রূপে লেখা যায় —
Ax²  +  B y²  +  2H xy  +  2G x  +  2F y  +  C  =  0
এখানে — A= x²-এর সহগ, B= y²-এর সহগ, H= (xy-এর সহগ)÷2, G= (x-এর সহগ)÷2, F= (y-এর সহগ)÷2, C= ধ্রুবক।
⚠ সবচেয়ে কমন ভুল: H, G, F বের করার সময় ২ দিয়ে ভাগ করতে ভুলে যাওয়া।

কোণক কাটলে কী পাওয়া যায়

যেভাবে কাটা হয়আকৃতিউৎকেন্দ্রিকতা e
ভূমির সমান্তরালেবৃত্ত (Circle)e = 0
একটু কোনাকুনি / চ্যাপ্টা করেউপবৃত্ত (Ellipse)0 < e < 1
একটি পার্শ্বরেখার (জনক) সমান্তরালেপরাবৃত্ত (Parabola)e = 1
দুই কোণই (উপর-নিচ) ছেদ করেঅধিবৃত্ত (Hyperbola)e > 1
ঠিক কেন্দ্র/শীর্ষ বরাবরজোড়া সরলরেখা—
💡 মনে রাখার মূল কথা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ মোট ৫টি জিনিস নির্দেশ করতে পারে — বৃত্ত, জোড়া সরলরেখা, পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত। বইয়ে "কনিক" বলতে মূলত শেষ তিনটি (পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত) বোঝায়।
• সসীম: বৃত্ত, উপবৃত্ত।   • অসীম: পরাবৃত্ত, অধিবৃত্ত, জোড়া সরলরেখা।
📐 প্রতিসমতা (Symmetry) পরাবৃত্ত → শুধু প্রধান অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম।   উপবৃত্ত ও অধিবৃত্ত → দুটি অক্ষের সাপেক্ষেই প্রতিসম (তাই এদের দুটি করে উপকেন্দ্র ও নিয়ামক)।

২ কনিক শনাক্তকরণ — কোনটা কোন কনিক?

সমীকরণ দেখে কোন কনিক বলতে হলে প্রথমে সব পদ এক পাশে এনে আদর্শ আকৃতিতে আনো, তারপর A, B, H বের করো।

ধাপ ১ — নির্ণায়ক Δ

Δ =  |  AHGHBFGFC  |

মনে রাখার ট্রিক: প্রধান কর্ণে A B C, নিচের সারি ও ডান কলামে G F C ("GFC"), বাকি ঘরে H।

Δ = 0 → জোড়া সরলরেখা (Pair of Straight Lines)
Δ ≠ 0 → বাকি ৪টি কনিকের একটি (নিচের চেক)

ধাপ ২ — Δ ≠ 0 হলে, H² ও AB তুলনা

শর্তকনিকছড়া
A = B এবং H = 0 (A,B ≠ 0)বৃত্তসমান সহগ, xy নেই
H² = ABপরাবৃত্ত"সমান হলে প্যারা"
H² < ABউপবৃত্ত"ছোট হলে উপ"
H² > ABঅধিবৃত্ত"বড় হলে অধি"
⚡ MCQ শর্টকাট • অপশনে "জোড়া সরলরেখা" বা "None" না থাকলে → Δ চেক করার দরকার নেই, সরাসরি H² vs AB দেখো।
• অপশনে "জোড়া সরলরেখা"/"None" থাকলে → Δ = 0 কিনা চেক করা মাস্ট।
• নির্ণায়কের দুটি সারি বা দুটি কলাম সমান হলে Δ = 0 → তাৎক্ষণিক জোড়া সরলরেখা।
উদাহরণ • 3x² + 4y² + … = 0 → H=0, A=3, B=4 → H²=0 < AB=12 → উপবৃত্ত
• x² − 2x − 4y + … = 0 → A=1, B=0, H=0 → H²=AB=0 → পরাবৃত্ত
• xy − 1 = 0 → A=0, B=0, H=½ → H²=¼ > AB=0 → অধিবৃত্ত (আয়তাকার; বয়েলের সূত্রের গ্রাফ)

৩ কনিকের সাধারণ সংজ্ঞা ও উৎকেন্দ্রিকতা

কনিকের সংজ্ঞা (Focus–Directrix) সঞ্চারপথের প্রতিটি বিন্দু P(x, y)-এর — একটি স্থির বিন্দু S (উপকেন্দ্র/ফোকাস) থেকে দূরত্ব এবং একটি স্থির সরলরেখা (নিয়ামক/দিকাক্ষ) থেকে লম্ব দূরত্বের অনুপাত সর্বদা ধ্রুবক হলে সেই সঞ্চারপথকে কনিক বলে।
SP = e · PM
S = উপকেন্দ্র, M = নিয়ামকে লম্ব পাদবিন্দু, e = উৎকেন্দ্রিকতা (eccentricity)।
কনিকe-এর মানমনে রাখার কথা
বৃত্তe = 0দুই অক্ষ সমান
উপবৃত্ত0 < e < 1SP < PM
পরাবৃত্তe = 1SP = PM (অনুপাত ১)
অধিবৃত্তe > 1SP > PM
যেকোনো কনিকের সমীকরণ বের করতে দরকার ৩টি জিনিস (১) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, (২) নিয়ামকের সমীকরণ, (৩) উৎকেন্দ্রিকতা e। পরাবৃত্তে e=1 জানা, তাই দুটো জানলেই হয়।

৪ পরাবৃত্ত — উপাদান ও আদর্শ আকৃতি

পরাবৃত্ত (Parabola) যে কনিকের প্রতিটি বিন্দুর উপকেন্দ্র থেকে দূরত্ব ও নিয়ামক থেকে দূরত্ব সমান (e = 1)।

উপাদানসমূহ (Terms)

  • শীর্ষবিন্দু (Vertex): যেখান থেকে পরাবৃত্তের যাত্রা শুরু।
  • প্রধান অক্ষ (Axis): যে রেখার সাপেক্ষে পরাবৃত্ত প্রতিসম।
  • উপকেন্দ্র / ফোকাস (S): অক্ষের উপর স্থির বিন্দু।
  • নিয়ামক / দিকাক্ষ (Directrix): স্থির সরলরেখা; অক্ষের উপর লম্ব।
  • শীর্ষে স্পর্শক: নিয়ামকের সমান্তরাল, অক্ষের উপর লম্ব।
  • উপকেন্দ্রিক লম্ব / নাভিলম্ব (Latus Rectum): উপকেন্দ্রগামী, অক্ষের লম্ব জ্যা; দৈর্ঘ্য = 4a।
🔑 ৪টি অপরিবর্তনীয় ধর্ম (যেভাবেই ঘুরুক) ১. অক্ষ ⊥ নিয়ামক   ২. অক্ষ ⊥ নাভিলম্ব   ৩. অক্ষ ⊥ শীর্ষস্পর্শক
৪. শীর্ষবিন্দু = উপকেন্দ্র ও (নিয়ামক∩অক্ষ)-এর মধ্যবিন্দু → শীর্ষ থেকে উপকেন্দ্র = শীর্ষ থেকে নিয়ামক = a।

⭐ Golden Rule (অক্ষ চেনার নিয়ম)

"যে চলকের একঘাত (linear), প্রধান অক্ষ সেই অক্ষের সমান্তরাল।" সমীকরণে x একঘাতে → অক্ষ x-অক্ষের সমান্তরাল।   y একঘাতে → অক্ষ y-অক্ষের সমান্তরাল।

চারটি আদর্শ আকৃতি ও সম্পূর্ণ ধর্ম

উপাদানy² = 4axx² = 4ay
প্রধান অক্ষx-অক্ষ (y=0)y-অক্ষ (x=0)
শীর্ষবিন্দু(0, 0)(0, 0)
উপকেন্দ্র (Focus)(a, 0)(0, a)
নিয়ামকx = −ay = −a
শীর্ষে স্পর্শকx = 0y = 0
নাভিলম্বের সমীকরণx = ay = a
নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য|4a||4a|
নাভিলম্বের প্রান্তবিন্দু(a, ±2a)(±2a, a)
হা করার দিক (a>0)ডানেউপরে
হা করার দিক (a<0)বামেনিচে
উদাহরণ — y² = 8x 4a = 8 → a = 2 (ধনাত্মক, ডানে হা)। শীর্ষ (0,0); উপকেন্দ্র (2,0); নিয়ামক x = −2; শীর্ষস্পর্শক x=0; নাভিলম্ব x=2, দৈর্ঘ্য 8, প্রান্তবিন্দু (2, 4) ও (2, −4)।

৫ স্থানান্তর ও কেস ৩–৪ (শীর্ষ সরানো)

গ্রাফ স্থানান্তরের নিয়ম (সব কনিকে খাটে) x → (x − α) বসালে গ্রাফ α ঘর ডানে, y → (y − β) বসালে β ঘর উপরে সরে। ফলে প্রতিটি বিন্দুর ভুজে α, কোটিতে β যোগ হয়। দৈর্ঘ্য/দূরত্ব বদলায় না — শুধু স্থানাঙ্ক ও সমীকরণ বদলায়।
উপাদান(y−β)² = 4a(x−α)(x−α)² = 4a(y−β)
শীর্ষবিন্দু(α, β)(α, β)
প্রধান অক্ষx-অক্ষের সমান্তরাল · y = βy-অক্ষের সমান্তরাল · x = α
উপকেন্দ্র(α+a, β)(α, β+a)
নিয়ামকx = α−ay = β−a
শীর্ষস্পর্শকx = αy = β
নাভিলম্বx = α+ay = β+a
নাভিলম্ব প্রান্ত(α+a, β±2a)(α±2a, β+a)
⚡ শীর্ষ বের করার ক্যালকুলাস শর্টকাট যে চলকের বর্গ (square) আছে, সেই চলকের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে = 0 বসাও → শীর্ষের ঐ স্থানাঙ্ক। তারপর মূল সমীকরণে বসিয়ে অন্যটা পাও। (ক্যালকুলেটরের Equation/Solve মোড ব্যবহার করো।)
উদাহরণ — (y−3)² = 8(x−2) α=2, β=3, a=2 (ডানে হা)। শীর্ষ (2,3); উপকেন্দ্র (4,3); নিয়ামক x=0; অক্ষ y=3; নাভিলম্ব x=4, প্রান্তবিন্দু (4,7) ও (4,−1)।
উদাহরণ — পূর্ণবর্গে আনা: y² − 4y = 4x − a স্কয়ারওয়ালা পদ বামে, বাকি ডানে → পূর্ণবর্গ: (y−2)² = 4x − a + 4 → 4 কমন → (y−2)² = 4(x − …)। শীর্ষ (1, 2); অক্ষ x-অক্ষের সমান্তরাল; a>0 → ডানে হা।
⚠ কমন ভুল উভয় পক্ষকে কোনো সংখ্যা দিয়ে গুণ/ভাগ করলে প্রতিটি পদকে করতে হবে — শুধু x-পদ নয়, ধ্রুবকও। পূর্ণবর্গ ভেঙে যোগ-বিয়োগে সবচেয়ে বেশি ভুল হয়।

৬ উপকেন্দ্রিক দূরত্ব (Focal Distance)

সংজ্ঞা পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুর উপকেন্দ্র থেকে দূরত্বই তার উপকেন্দ্রিক দূরত্ব। (= ঐ বিন্দু থেকে নিয়ামকের দূরত্ব, কারণ SP = PM)
আকৃতিP(x, y)-এর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব
অক্ষ x-অক্ষের সমান্তরালx + a − α
অক্ষ y-অক্ষের সমান্তরালy + a − β
y² = 4ax (α=0)x + a
x² = 4ay (β=0)y + a
উদাহরণ y² = 16x পরাবৃত্তে যে বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব 6 → a=4, x + 4 = 6 → x = 2; y² = 32 → y = ±4√2। বিন্দুদ্বয়: (2, 4√2) ও (2, −4√2) (উপকেন্দ্র থেকে দুটোর দূরত্ব সমান)।

📌 উপকেন্দ্রিক দূরত্বের অংক MCQ-তে প্রচুর আসে। α (বা β) শূন্য হলে সরাসরি বসাও; উত্তরে প্রতিসম দুটি বিন্দু আসে।

৭ স্পর্শক, স্পর্শক-শর্ত ও পরামিতিক সমীকরণ

স্পর্শক হওয়ার শর্ত (সব কনিকে) রেখা ও কনিক একত্রে সমাধান করলে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ আসে। স্পর্শক হলে ছেদবিন্দু একটিই → নিশ্চায়ক = 0, অর্থাৎ b² − 4ac = 0।
y = mx + c, পরাবৃত্ত y²=4ax-এ স্পর্শক হলে
c = am
উপরস্থ বিন্দু (x₁,y₁)-এ স্পর্শক
y·y₁ = 2a (x + x₁)
T = 0 প্রতিস্থাপন নিয়ম (যেকোনো কনিকের উপরস্থ বিন্দুতে স্পর্শক) x² → x·x₁  |  y² → y·y₁  |  x → x+x₁2  |  y → y+y₁2  |  ধ্রুবক অপরিবর্তিত।
পরামিতিক সমীকরণ — y² = 4ax
x = a t² ,   y = 2a t
যাচাই: t = y/2a বসালে → y² = 4ax ✓।   পরামিতিক রূপে প্রশ্ন এলে আগে t দূর করে সাধারণ সমীকরণে আনো, তারপর স্বাভাবিকভাবে সব ধর্ম বের করো।

৮ SP = PM দিয়ে বাঁকা পরাবৃত্তের সমীকরণ

যখন নিয়ামক/অক্ষ কোনো অক্ষের সমান্তরাল নয় (পরাবৃত্ত তেরছা), তখন আদর্শ আকৃতি খাটে না। একমাত্র উপায় SP = PM (e = 1)।

উদাহরণ — উপকেন্দ্র S(−1, 1), নিয়ামক x + y + 1 = 0 ধরি P(x, y)।   SP = √[(x+1)² + (y−1)²] ,   PM = |x+y+1| / √2
SP = PM → বর্গ করে: (x+1)² + (y−1)² = (x+y+1)²/2 → সরলীকরণ করে —
x² + y² − 2xy + 2x − 6y + 3 = 0
xy পদ ও দুই বর্গ একসাথে থাকলেই বুঝবে অক্ষ তেরছা।
⚡ ভেরিফিকেশন ট্রিক অক্ষের সমীকরণে x,y-যুক্ত যে অংশ থাকে, চূড়ান্ত সমীকরণে সেটি বর্গ আকারে আসবে। যেমন অক্ষ (x−y+…) → সমীকরণে (x−y)² থাকবে। এতে যোগ-বিয়োগের ভুল ধরা যায়।
⚠ বোর্ডে নম্বরের জন্য ভাষায় লিখতে হবে শুধু চিত্র যথেষ্ট নয় — "ধরি কনিকের উপরস্থ চলমান বিন্দু P(x,y)", "প্রশ্নমতে SP = e·PM" — প্রতিটি ধাপ কথায় লিখতে হবে, নাহলে নম্বর কাটা যায়।
শীর্ষে অঙ্কিত স্পর্শক / নাভিলম্ব দেওয়া থাকলে "শীর্ষে অক্ষের উপর লম্ব রেখা" = শীর্ষস্পর্শক = নিয়ামকের সমান্তরাল। উপকেন্দ্র থেকে এই রেখার দূরত্ব = a। নিয়ামক ও নাভিলম্ব দুটোই এই রেখার সমান্তরাল ও a দূরে। যে রেখা উপকেন্দ্র দিয়ে সিদ্ধ হয় সেটি নাভিলম্ব, অন্যটি নিয়ামক। (ঢাকা ২০২১, বরিশাল বোর্ড)

৯ উপবৃত্ত — উপাদান ও আদর্শ আকৃতি

উপবৃত্ত (Ellipse) যে কনিকের প্রতিটি বিন্দুর SP : PM অনুপাত একটি ধ্রুবক e (যেখানে 0 < e < 1)। দুটি উপকেন্দ্র (S, S′) ও দুটি নিয়ামক থাকে।

উপাদানসমূহ

  • কেন্দ্র (Centre): বৃহৎ ও ক্ষুদ্র অক্ষের ছেদবিন্দু (পরাবৃত্তে কেন্দ্র নেই)।
  • বৃহৎ/প্রধান অক্ষ (Major axis): বড় অক্ষ — দৈর্ঘ্য 2a।
  • ক্ষুদ্র/অনুবন্ধী অক্ষ (Minor axis): ছোট অক্ষ — দৈর্ঘ্য 2b।
  • উপকেন্দ্র S, S′ ও নিয়ামক — দুই দিকে দুটি করে।

আদর্শ আকৃতি — দুটি কেস

x²a² + y²b² = 1

a > b → বৃহৎ অক্ষ = x-অক্ষ।    b > a → বৃহৎ অক্ষ = y-অক্ষ।

উপাদানa > b (অক্ষ = x)b > a (অক্ষ = y)
কেন্দ্র(0, 0)(0, 0)
শীর্ষ (প্রধান)(±a, 0)(0, ±b)
উপকেন্দ্র(±ae, 0)(0, ±be)
নিয়ামকx = ±a/ey = ±b/e
নাভিলম্বx = ±aey = ±be
বৃহৎ অক্ষ2a2b
ক্ষুদ্র অক্ষ2b2a
⚠ সবচেয়ে কমন ভুল b > a কেসে উপকেন্দ্র (0, ±be) — ভুল করে অনেকে (±be, 0) লেখে। উপকেন্দ্র সবসময় প্রধান অক্ষের উপর থাকে।

১০ উপবৃত্তের সব সূত্র ও বৃত্ত

নিচে "বড়টা" = a², b²-এর বড়টি; "ছোটটা" = ছোটটি। একটা চিত্র মাথায় রাখলে সব এক নিয়মে আসে।

ধর্মসূত্র (a > b)সাধারণ রূপ
উৎকেন্দ্রিকতা e√(1 − b²/a²)√(1 − ছোট²/বড়²)
নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য2b²/a2 × ছোট²/বড়
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব (SS′)2ae = 2√(a²−b²)2√(বড়²−ছোট²)
নিয়ামকদ্বয়ের দূরত্ব2a/e2·বড়/e
উপকেন্দ্র–শীর্ষ দূরত্বa(1−e)|বড় − বড়·e|
ক্ষেত্রফলπ a bπ × অর্ধবৃহৎ × অর্ধক্ষুদ্র
💡 মূল ৩টি মনে রাখলেই হবে e = √(1 − ছোট²/বড়²)  ·  নাভিলম্ব = 2·ছোট²/বড়  ·  SS′ = 2√(বড়² − ছোট²)।
উৎকেন্দ্রিকতায় উপরে ছোটটা, নিচে বড়টা — নাহলে e > 1 হয়ে যেত।
বৃত্ত = বিশেষ উপবৃত্ত a = b হলে → x² + y² = a² (বৃত্ত), এবং e = √(1 − a²/a²) = 0।
স্পর্শক ও পরামিতিক স্পর্শক-শর্ত (y = mx + c): c² = a²m² + b²  ·  উপরস্থ বিন্দুতে স্পর্শক: x·x₁a² + y·y₁b² = 1  ·  পরামিতিক: x = a cosθ, y = b sinθ (cos²θ + sin²θ = 1)।
উদাহরণ — 25x² + 16y² = 400 ÷400 → x²/16 + y²/25 = 1 → a=4, b=5, b>a (অক্ষ y)। e = √(1−16/25) = 3/5; নাভিলম্ব 2a²/b = 32/5; উপকেন্দ্র (0, ±be) = (0, ±3); নিয়ামক y = ±25/3।

১১ উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় ও SP = e·PM

লক্ষ্য সবসময় ৪টি জিনিস কেন্দ্র (α, β) এবং a², b² (a, b নয় — রুট নিলে ঝামেলা)। ২টি অজানা বের করতে ২টি শর্ত লাগে।
উদাহরণ ১ — বৃহৎ অক্ষ ও উপকেন্দ্র দেওয়া বৃহৎ অক্ষ 8 → 2a=8 → a=4; উপকেন্দ্রের ভুজ 2 → ae=2 → a²−b²=4 → 16−b²=4 → b²=12। সমীকরণ: x²/16 + y²/12 = 1।
উদাহরণ ২ — উপকেন্দ্র ও নিয়ামকের দূরত্ব 2ae = 8, 2a/e = 18 → গুণ করে 4a² = 144 → a²=36; ae=4 → a²−b²=16 → b²=20। সমীকরণ: x²/36 + y²/20 = 1।
উদাহরণ ৩ — e = 4/5, উপকেন্দ্র (0, ±4) উপকেন্দ্র y-অক্ষে → b>a; be=4 → b²−a²=16; e²=16/25=1−a²/b² → a²/b²=9/25 → b²−9b²/25=16 → b²=25, a²=9। সমীকরণ: x²/9 + y²/25 = 1।
বাঁকা উপবৃত্ত — SP = e·PM নিয়ামক কোনো অক্ষের সমান্তরাল না হলে আদর্শ আকৃতি নেই। উপকেন্দ্র, নিয়ামক, e ব্যবহার করে: উদাহরণ — S(−1,1), e=½, নিয়ামক x−y=0 → SP = ½·PM → বর্গ করে সরলীকরণ → 7x² + 7y² + 2xy + 16x − 16y + 16 = 0 (xy পদ = তেরছা)।
⚡ কেন্দ্র বের করার শর্টকাট পূর্ণবর্গ না করে — সমীকরণকে x ও y সাপেক্ষে আলাদা আংশিক অন্তরীকরণ করে = 0 বসাও। ভুজ ও কোটি একসাথে কেন্দ্র দেয়।

১২ অধিবৃত্ত — উপাদান ও আদর্শ আকৃতি

অধিবৃত্ত (Hyperbola) যে কনিকের SP : PM অনুপাত e > 1। দুই অংশবিশিষ্ট, দুই অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম।
  • আড় অক্ষ (Transverse axis): যে অক্ষ অধিবৃত্তকে ছেদ করে = প্রধান অক্ষ (দৈর্ঘ্য 2a)।
  • অনুবন্ধী অক্ষ (Conjugate axis): যেটি ছেদ করে না (দৈর্ঘ্য 2b)।
  • অধিবৃত্তে "বৃহৎ অক্ষ" বলে কিছু নেই — a বড় না b বড় ম্যাটার করে না; যার আগে + চিহ্ন, সেটাই আড় অক্ষ।
x²a² − y²b² = 1   |   y²b² − x²a² = 1
উপাদানx²/a² − y²/b² = 1y²/b² − x²/a² = 1
আড় অক্ষx-অক্ষy-অক্ষ
কেন্দ্র(0, 0)(0, 0)
শীর্ষবিন্দু(±a, 0)(0, ±b)
উপকেন্দ্র(±ae, 0)(0, ±be)
নিয়ামকx = ±a/ey = ±b/e
উৎকেন্দ্রিকতা e√(1 + b²/a²)√(1 + a²/b²)
নাভিলম্ব2b²/a2a²/b
আড় অক্ষ / অনুবন্ধী2a / 2b2b / 2a
⚠ ডান পাশে সবসময় +1 −1 বা অন্য কিছু থাকলে দুই পাশে গুণ করে +1 বানাও। মাঝে চিহ্ন মাইনাস (উপবৃত্তে প্লাস ছিল)। উৎকেন্দ্রিকতায় যেটার আগে নেগেটিভ তার বর্গ উপরে, পজিটিভ পদের বর্গ নিচে।

১৩ অধিবৃত্ত — সূত্র, অসীমতট, স্পর্শক ও পরামিতিক

🔑 উপবৃত্ত জানলে অধিবৃত্ত প্রায় ফ্রি পার্থক্য মাত্র দুটি — (১) মাঝে +/− চিহ্ন, (২) উৎকেন্দ্রিকতায় 1 + b²/a² (উপবৃত্তে 1 − b²/a²)। বাকি প্রায় সব সূত্র হুবহু এক। (শুধু ক্ষেত্রফল πab অধিবৃত্তে নেই।)
কেন্দ্র সরানো (x−α)²/a² − (y−β)²/b² = 1 → আড় অক্ষ x-সমান্তরাল; (y−β)²/b² − (x−α)²/a² = 1 → y-সমান্তরাল। কেন্দ্র (α, β); ভুজে α, কোটিতে β যোগ।
অসীমতট রেখা (Asymptotes) কেন্দ্রগামী দুটি রেখা যা অধিবৃত্তকে অসীমে গিয়ে স্পর্শ করে (একটি জোড়া সরলরেখা)। পদ্ধতি: ডান পাশের 1-এর জায়গায় 0 বসাও।
উদাহরণ: x²/16 − y²/9 = 1 → 0 বসিয়ে → y = ± (3/4) x।
স্পর্শক ও পরামিতিক স্পর্শক-শর্ত: c² = a²m² − b²  ·  উপরস্থ বিন্দুতে: x·x₁a² − y·y₁b² = 1  ·  পরামিতিক: x = a secθ, y = b tanθ (sec²θ − tan²θ = 1)।
উদাহরণ — পূর্ণবর্গ: 9x² − 16y² − 18x − 64y − 199 = 0 9(x−1)² − 16(y+2)² = 144 → (x−1)²/16 − (y+2)²/9 = 1। কেন্দ্র (1,−2); a=4, b=3; শীর্ষ (5,−2),(−3,−2); e = √(1+9/16) = 5/4; উপকেন্দ্র (6,−2),(−4,−2); আড় অক্ষ 8, অনুবন্ধী 6।
উদাহরণ — উপকেন্দ্র (4,2),(8,2), e = 2 কোটি সমান → আড় অক্ষ x-সমান্তরাল; কেন্দ্র = মধ্যবিন্দু (6,2); ae=2, e=2 → a=1, a²=1; e=√(1+b²/a²)=2 → b²=3। সমীকরণ: (x−6)² − (y−2)²/3 = 1।
⚠ আড় অক্ষ বলা না থাকলে দুই কেস "স্থানাঙ্ক অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে অধিবৃত্ত" — আড় অক্ষ কোনটা না বললে x²/a²−y²/b²=1 ও y²/b²−x²/a²=1 দুটোই করা পূর্ণ উত্তর (সময় কম হলে x-অক্ষ ধরো)।

১৪ তিন কনিকের তুলনামূলক টেবিল

বৈশিষ্ট্যপরাবৃত্তউপবৃত্তঅধিবৃত্ত
আদর্শ সমীকরণy² = 4axx²/a² + y²/b² = 1x²/a² − y²/b² = 1
উৎকেন্দ্রিকতাe = 10 < e < 1e > 1
e সূত্র—√(1 − b²/a²)√(1 + b²/a²)
কেন্দ্রনেইআছেআছে
উপকেন্দ্র সংখ্যা১২২
নাভিলম্ব4a2b²/a2b²/a
উপকেন্দ্র(a,0)(±ae,0)(±ae,0)
নিয়ামকx = −ax = ±a/ex = ±a/e
পরামিতিক(at², 2at)(a cosθ, b sinθ)(a secθ, b tanθ)
স্পর্শক-শর্তc = a/mc² = a²m² + b²c² = a²m² − b²
সীমাঅসীমসসীমঅসীম
বিশেষSP = PMক্ষেত্রফল = πabঅসীমতট: y=±(b/a)x

১৫ সূত্র চিট-শিট (এক নজরে)

পরাবৃত্ত

y²=4ax → শীর্ষ(0,0), উপকেন্দ্র(a,0), নিয়ামক x=−a, নাভিলম্ব=4a, পরামিতিক(at²,2at), স্পর্শক c=a/m
উপকেন্দ্রিক দূরত্ব = x + a − α   (অক্ষ ∥ x)  |  y + a − β  (অক্ষ ∥ y)

উপবৃত্ত (a>b)

e=√(1−b²/a²), ae=√(a²−b²), নাভিলম্ব=2b²/a, উপকেন্দ্র(±ae,0), নিয়ামক x=±a/e, ক্ষেত্রফল=πab
পরামিতিক (a cosθ, b sinθ) · স্পর্শক c²=a²m²+b² · বৃত্ত: a=b, e=0

অধিবৃত্ত

e=√(1+b²/a²), ae=√(a²+b²), নাভিলম্ব=2b²/a, অসীমতট y=±(b/a)x
পরামিতিক (a secθ, b tanθ) · স্পর্শক c²=a²m²−b² · ডানপাশে সবসময় +1

শনাক্তকরণ

Δ=0 → জোড়া সরলরেখা · H²=AB → পরাবৃত্ত · H²<AB → উপবৃত্ত · H²>AB → অধিবৃত্ত

সর্বজনীন

কনিক: SP = e·PM · স্পর্শক হওয়ার শর্ত: নিশ্চায়ক b²−4ac = 0 · উপরস্থ বিন্দুতে স্পর্শক: T = 0

১৬ MCQ ব্যাংক (উত্তরসহ)

প্রতিটি প্রশ্নের নিচে "উত্তর ও ব্যাখ্যা" ক্লিক করলে সমাধান দেখা যাবে। নিজে চেষ্টা করে তারপর মেলাও।

১. y² = 12x পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র কোনটি?
  • (ক) (3, 0)
  • (খ) (0, 3)
  • (গ) (−3, 0)
  • (ঘ) (12, 0)
উত্তর ও ব্যাখ্যা(ক) (3, 0) — 4a=12 → a=3, উপকেন্দ্র (a,0)।
২. y² = 12x-এর নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য?
  • (ক) 3
  • (খ) 6
  • (গ) 12
  • (ঘ) 24
উত্তর ও ব্যাখ্যা(গ) 12 — নাভিলম্ব = |4a| = 12।
৩. x² + 2x − 4y + 5 = 0 কোন কনিক?
  • (ক) বৃত্ত
  • (খ) পরাবৃত্ত
  • (গ) উপবৃত্ত
  • (ঘ) অধিবৃত্ত
উত্তর ও ব্যাখ্যা(খ) পরাবৃত্ত — A=1, B=0, H=0 → H²=AB=0।
৪. উপবৃত্ত x²/25 + y²/9 = 1-এর উৎকেন্দ্রিকতা?
  • (ক) 3/5
  • (খ) 4/5
  • (গ) 5/4
  • (ঘ) 4/3
উত্তর ও ব্যাখ্যা(খ) 4/5 — e=√(1−9/25)=√(16/25)=4/5।
৫. উপবৃত্ত x²/25 + y²/9 = 1-এর উপকেন্দ্র?
  • (ক) (±4, 0)
  • (খ) (0, ±4)
  • (গ) (±5, 0)
  • (ঘ) (±3, 0)
উত্তর ও ব্যাখ্যা(ক) (±4, 0) — ae=5·(4/5)=4 অথবা √(25−9)=4।
৬. অধিবৃত্ত x²/16 − y²/9 = 1-এর উৎকেন্দ্রিকতা?
  • (ক) 3/4
  • (খ) 5/4
  • (গ) 4/5
  • (ঘ) 5/3
উত্তর ও ব্যাখ্যা(খ) 5/4 — e=√(1+9/16)=√(25/16)=5/4।
৭. অধিবৃত্ত x²/16 − y²/9 = 1-এর অসীমতট রেখার সমীকরণ?
  • (ক) y = ±(3/4)x
  • (খ) y = ±(4/3)x
  • (গ) y = ±x
  • (ঘ) y = ±(9/16)x
উত্তর ও ব্যাখ্যা(ক) y = ±(3/4)x — 1-এর জায়গায় 0 বসিয়ে y²/9 = x²/16।
৮. কোন কনিকের উৎকেন্দ্রিকতা সর্বদা 1?
  • (ক) বৃত্ত
  • (খ) উপবৃত্ত
  • (গ) পরাবৃত্ত
  • (ঘ) অধিবৃত্ত
উত্তর ও ব্যাখ্যা(গ) পরাবৃত্ত — SP = PM।
৯. xy = 4 কোন কনিক নির্দেশ করে?
  • (ক) পরাবৃত্ত
  • (খ) উপবৃত্ত
  • (গ) অধিবৃত্ত
  • (ঘ) জোড়া সরলরেখা
উত্তর ও ব্যাখ্যা(গ) অধিবৃত্ত — A=0, B=0, H=2 → H²=4 > AB=0 (আয়তাকার অধিবৃত্ত)।
১০. y² = 4ax-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক?
  • (ক) (a cosθ, a sinθ)
  • (খ) (at², 2at)
  • (গ) (a secθ, a tanθ)
  • (ঘ) (2at, at²)
উত্তর ও ব্যাখ্যা(খ) (at², 2at)
১১. উপবৃত্ত x²/a² + y²/b² = 1 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল?
  • (ক) πa²
  • (খ) πab
  • (গ) 2πab
  • (ঘ) πa²b²
উত্তর ও ব্যাখ্যা(খ) πab
১২. পরাবৃত্তের সমীকরণ y² = 16x; যে বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব 6, তার ভুজ?
  • (ক) 2
  • (খ) 4
  • (গ) 6
  • (ঘ) 8
উত্তর ও ব্যাখ্যা(ক) 2 — a=4, x+a=6 → x=2।
১৩. বৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা?
  • (ক) 0
  • (খ) 1
  • (গ) ∞
  • (ঘ) 1/2
উত্তর ও ব্যাখ্যা(ক) 0 — a=b হলে e=0।
১৪. y = mx + c রেখা x²/a² + y²/b² = 1-কে স্পর্শ করার শর্ত?
  • (ক) c² = a²m² − b²
  • (খ) c² = a²m² + b²
  • (গ) c = a/m
  • (ঘ) c² = a² + b²m²
উত্তর ও ব্যাখ্যা(খ) c² = a²m² + b²
১৫. Δ = 0 হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্দেশ করে—
  • (ক) পরাবৃত্ত
  • (খ) উপবৃত্ত
  • (গ) জোড়া সরলরেখা
  • (ঘ) বৃত্ত
উত্তর ও ব্যাখ্যা(গ) জোড়া সরলরেখা
১৬. উপবৃত্ত 9x² + 25y² = 225-এর বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য?
  • (ক) 5
  • (খ) 6
  • (গ) 10
  • (ঘ) 3
উত্তর ও ব্যাখ্যা(গ) 10 — ÷225 → x²/25 + y²/9=1 → a=5 → 2a=10।
১৭. পরাবৃত্ত (y−2)² = 8(x−1)-এর শীর্ষবিন্দু?
  • (ক) (1, 2)
  • (খ) (2, 1)
  • (গ) (−1, −2)
  • (ঘ) (3, 2)
উত্তর ও ব্যাখ্যা(ক) (1, 2) — (α, β) = (1, 2)।
১৮. অধিবৃত্ত x²/9 − y²/16 = 1-এর উপকেন্দ্র?
  • (ক) (±5, 0)
  • (খ) (±3, 0)
  • (গ) (±4, 0)
  • (ঘ) (0, ±5)
উত্তর ও ব্যাখ্যা(ক) (±5, 0) — ae=√(9+16)=5।
১৯. x² = −8y পরাবৃত্ত কোন দিকে হা করে?
  • (ক) ডানে
  • (খ) বামে
  • (গ) উপরে
  • (ঘ) নিচে
উত্তর ও ব্যাখ্যা(ঘ) নিচে — x²=4ay, 4a=−8 → a<0 → নিচে।
২০. উপবৃত্ত x²/a² + y²/b² = 1 (a>b)-এর নাভিলম্ব?
  • (ক) 2a²/b
  • (খ) 2b²/a
  • (গ) 4a
  • (ঘ) b²/a
উত্তর ও ব্যাখ্যা(খ) 2b²/a
২১. 16x² + 9y² = 144 উপবৃত্তের প্রধান অক্ষ কোনটি?
  • (ক) x-অক্ষ
  • (খ) y-অক্ষ
  • (গ) y = x
  • (ঘ) নির্ণয় করা যায় না
উত্তর ও ব্যাখ্যা(খ) y-অক্ষ — ÷144 → x²/9 + y²/16=1 → b>a → অক্ষ y।
২২. পরাবৃত্ত y² = 4ax-এর নিয়ামকের সমীকরণ?
  • (ক) x = a
  • (খ) x = −a
  • (গ) y = a
  • (ঘ) y = −a
উত্তর ও ব্যাখ্যা(খ) x = −a
২৩. দুই উপকেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব উপবৃত্তে কত?
  • (ক) 2a
  • (খ) 2ae
  • (গ) 2a/e
  • (ঘ) ae
উত্তর ও ব্যাখ্যা(খ) 2ae = 2√(a²−b²)।
২৪. অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক?
  • (ক) (a cosθ, b sinθ)
  • (খ) (a secθ, b tanθ)
  • (গ) (at², 2at)
  • (ঘ) (a tanθ, b secθ)
উত্তর ও ব্যাখ্যা(খ) (a secθ, b tanθ) — sec²θ − tan²θ = 1।
২৫. 3x² + 3y² − 6x + 12y − 5 = 0 কোন কনিক?
  • (ক) বৃত্ত
  • (খ) উপবৃত্ত
  • (গ) পরাবৃত্ত
  • (ঘ) অধিবৃত্ত
উত্তর ও ব্যাখ্যা(ক) বৃত্ত — A=B=3, H=0।
২৬. পরাবৃত্ত x² = 4ay-এর উপকেন্দ্র?
  • (ক) (a, 0)
  • (খ) (0, a)
  • (গ) (0, −a)
  • (ঘ) (−a, 0)
উত্তর ও ব্যাখ্যা(খ) (0, a)
২৭. e = 1/2, উপকেন্দ্র (0,0)... কোন বৈশিষ্ট্য কনিককে উপবৃত্ত বানায়?
  • (ক) e = 1
  • (খ) e > 1
  • (গ) 0 < e < 1
  • (ঘ) e = 0
উত্তর ও ব্যাখ্যা(গ) 0 < e < 1
২৮. অধিবৃত্ত x²/a² − y²/b² = 1-এ আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য?
  • (ক) 2a
  • (খ) 2b
  • (গ) a
  • (ঘ) 2ae
উত্তর ও ব্যাখ্যা(ক) 2a — x²-এর আগে + চিহ্ন।
২৯. উপবৃত্ত প্রমাণে কোন শর্ত দেখাতে হয়?
  • (ক) H² = AB
  • (খ) H² < AB
  • (গ) H² > AB
  • (ঘ) Δ = 0
উত্তর ও ব্যাখ্যা(খ) H² < AB (এবং Δ≠0)।
৩০. y² = 4ax-এর উপরস্থ (x₁, y₁) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ?
  • (ক) yy₁ = 2a(x+x₁)
  • (খ) yy₁ = 4a(x+x₁)
  • (গ) xx₁ = 2a(y+y₁)
  • (ঘ) yy₁ = a(x+x₁)
উত্তর ও ব্যাখ্যা(ক) yy₁ = 2a(x+x₁) — T=0 প্রতিস্থাপন।

১৭ CQ প্যাটার্ন ও সমাধানের কৌশল

বোর্ড CQ-তে কনিক থেকে যে টাইপগুলো প্রায় নিশ্চিত আসে, প্রতিটির আক্রমণ-কৌশল নিচে দেওয়া হলো।

টাইপ ১ — সমীকরণ দিয়ে সব তথ্য (১৪ গোষ্ঠী) নির্ণয়

কৌশল ১. পূর্ণবর্গ করে আদর্শ আকৃতিতে আনো → কেন্দ্র/শীর্ষ (α, β) ও a, b চিনে নাও।
২. একটা চিত্র এঁকে নাও — তারপর শীর্ষ, উপকেন্দ্র, নিয়ামক, অক্ষ, নাভিলম্ব, e সব যোগ-বিয়োগে বের করো।
পরাবৃত্ত আসার সম্ভাবনা সবচেয়ে বেশি। দৈর্ঘ্যে "একক", ক্ষেত্রফলে "বর্গ একক" লিখতে ভুলো না।

টাইপ ২ — তথ্য দিয়ে কনিকের সমীকরণ নির্ণয়

কৌশল লক্ষ্য: α, β এবং a², b² (পরাবৃত্তে α, β, a)। দেওয়া শর্ত (অক্ষ, উপকেন্দ্র, e, নাভিলম্ব, বিন্দুগামী) থেকে সমীকরণ বানিয়ে অজানা বের করো। বিন্দুগামী হলে বিন্দু বসিয়ে সিদ্ধ করো।

টাইপ ৩ — SP = e·PM দিয়ে সমীকরণ (⭐ প্রায় নিশ্চিত আসে)

পূর্ণ কাঠামো ১. "ধরি কনিকের উপরস্থ চলমান বিন্দু P(x, y)" — লেখো।
২. SP = উপকেন্দ্র থেকে দূরত্ব (দূরত্ব সূত্র); PM = নিয়ামক থেকে লম্ব দূরত্ব (|ax+by+c|/√(a²+b²))।
৩. "প্রশ্নমতে, SP = e·PM" — বসাও (পরাবৃত্তে e=1)।
৪. দুই পাশে বর্গ করো (মডুলাস উঠে যায়) → সরলীকরণ করে সব পদ এক পাশে আনো।
চিত্র অবশ্যই আঁকবে। প্রতিটি ধাপ কথায় লিখবে।

টাইপ ৪ — স্পর্শক / নাভিলম্ব / উপকেন্দ্রিক দূরত্ব

কৌশল • রেখা স্পর্শক প্রমাণ → একত্রে সমাধান করে নিশ্চায়ক = 0, অথবা স্পর্শক-শর্ত (c²=a²m²±b²) মিলিয়ে দেখাও।
• উপরস্থ বিন্দুতে স্পর্শক → T = 0 প্রতিস্থাপন।
• শীর্ষে অঙ্কিত স্পর্শক/নাভিলম্ব দেওয়া → সরলরেখা চ্যাপ্টার (সমান্তরাল-লম্ব-দূরত্ব) দিয়ে নিয়ামক বের করে SP=e·PM।
⚠ মনে রেখো কনিকের অর্ধেক কাজই সরলরেখা চ্যাপ্টারের (সমান্তরাল রেখা, লম্ব রেখা, দূরত্ব, মধ্যবিন্দু, ঢাল) — ওটা রিভিশন দিয়ে আসা আবশ্যক।

১৮ শেষ রাতের চেকলিস্ট ও কমন ভুল

✅ শেষবার যা ঝালিয়ে নেবে

  • তিন কনিকের e-এর মান: বৃত্ত 0, উপবৃত্ত (0,1), পরাবৃত্ত 1, অধিবৃত্ত >1।
  • শনাক্তকরণ: H²=AB প্যারা, < উপ, > অধি; Δ=0 জোড়া রেখা।
  • Golden Rule: যে চলকের একঘাত, অক্ষ সেই অক্ষের সমান্তরাল।
  • উৎকেন্দ্রিকতা: উপবৃত্ত √(1−b²/a²), অধিবৃত্ত √(1+b²/a²) — শুধু চিহ্নের পার্থক্য।
  • পরামিতিক ৩টি: পরাবৃত্ত (at²,2at), উপবৃত্ত (a cosθ,b sinθ), অধিবৃত্ত (a secθ,b tanθ)।
  • SP = e·PM-এর পূর্ণ কাঠামো ও ভাষায় লেখা।
  • অসীমতট: ডান পাশে 0 বসানো।

❌ এই ভুলগুলো করবে না

টপ কমন মিস্টেক
  1. H, G, F বের করার সময় ২ দিয়ে ভাগ না করা।
  2. b>a উপবৃত্ত/অধিবৃত্তে উপকেন্দ্র (0, ±be) না লিখে (±be, 0) লেখা।
  3. উভয় পক্ষকে সংখ্যা দিয়ে গুণ/ভাগের সময় ধ্রুবক পদ বাদ দেওয়া।
  4. অধিবৃত্তে ডান পাশ +1 না বানিয়ে হিসাব করা।
  5. SP=e·PM-এ বর্গ করার পর সরলীকরণে যোগ-বিয়োগের ভুল।
  6. দৈর্ঘ্যে "একক", ক্ষেত্রফলে "বর্গ একক" না লেখা।
  7. উৎকেন্দ্রিকতায় ছোট/বড় উল্টে বসানো (উপরে ছোটটা, নিচে বড়টা)।
  8. আদর্শ আকৃতিতে না এনেই সরাসরি কনিক চিনতে যাওয়া।
🎯 শেষ কথা ফর্মুলা মুখস্থ নয় — একটা চিত্র এঁকে যোগ-বিয়োগ করলেই সব বেরিয়ে আসে। পরাবৃত্ত সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ, আর SP = e·PM প্রায় নিশ্চিত আসবে। ঠান্ডা মাথায় চিত্র আঁকো, ধাপে ধাপে লেখো। অল দ্য বেস্ট! 🌟

📘 কনিক সম্পূর্ণ নোট · HSC উচ্চতর গণিত ২য় পত্র · ট্রান্সক্রিপ্ট থেকে তৈরি · কথ্য ক্লাসে কিছু সংখ্যা অস্পষ্ট থাকায় মূল বইয়ের সাথে একবার মিলিয়ে নিও।